Для пространственной произвольной системы сил можно составить. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

ВЕРНУТЬСЯ Сложное движение точки (тела) – такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в нескольких движениях (напр. пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O 1 x 1 y 1 z 1). Абсолютным движением точки назыв. движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной сист. координат относительно неподвижной (движение вагона). Теорема о сложении скоростей : , ; -орты (единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращается вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца и т.д., Þ: ,

; – относительная скорость. ; переносная скорость:

, поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (v e) и относительной (v r) скоростей , модуль: . :

и т.д. Слагаемые выражения, определяющего ускорения : 1) – ускорение полюса О; 2) 3) – относительное ускорение точки; 4) , получаем: .

Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении: – ускорение полюса О; – вращательное уск.,

– осестремительное уск., т.е.

. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) :

, где

– ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса: а с = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r), направление вектора определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90 о в направлении вращения.

Кориолисово уск. = 0 в трех случаях: 1) w e =0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угл. скорости в 0; 2) v r =0; 3) sin(w e ^ v r)=0, т.е. Ð(w e ^ v r)=0, когда относительная скорость v r параллельна оси переносного вращения. В случае движения в одной плоскости – угол между v r и вектором w e = 90 о, sin90 o =1, а с =2×w e ×v r . Сложное движение твердого тела

При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью вращения тела . Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме скоростей составляющих вращений – правило параллелограмма угловых скоростей.

. Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в одной точке, то . При сферическом движении твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной, имеем уравнения сферического движения: Y=f 1 (t); q=f 2 (t); j=f 3 (t). Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения - углы Эйлера. Угловая скорость прецессии , угл. скорость нутации , угл. ск. собственного вращения .

, – модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси. Через проекции на неподвижные оси координат: – кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей . 1)

Вращения направлены в одну сторону. w=w 2 +w 1 , С – мгновенный центр скоростей и через нее проходит мгновенная ось вращения,

. 2) Вращения направлены в разные стороны.

, w=w 2 -w 1

С – мгн. центр ск. и мгн. ось вращения,

. Векторы угловых скоростей при вращении вокруг ||-ых осей складываются так же, как векторы параллельных сил. 3) Пара вращений – вращения вокруг ||-ных осей направлены в разные стороны и угловые скорости по модулю равны ( – пара угловых скоростей). В этом случае v A =v B , результирующее движение тела – поступательное (или мгновенное поступательное) движение со скоростью v=w 1 ×AB – момент пары угловых скоростей (поступательное движение педали велосипеда относит-но рамы). Мгн. центр скоростей находится в бесконечности. Сложение поступательного и вращательного движений . 1) Скорость поступательного движения ^ к оси вращения – плоскопараллельное движение – мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью w=w". 2) Винтовое движение – движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угл.ск. w и поступательного со скоростью v||Аа. Ось Аа – ось винта. Если v и w в одну сторону, то винт – правый, если в разные – левый. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, наз. шагом винта – h. Если v и w постоянны, то h= =const, при постоянном шаге любая (×)М, не лежащая на оси винта описывает винтовую линию.

направлена по касательной к винтовой линии. 3) Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения, в этом случае движение можно рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений, вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей – мгновенно–винтовое движение.

Аналитическая запись условий равновесия произвольной пространственной системы сил представляет систему шести уравнений (5.3).

С механической точки зрения первые три уравнения устанавливают отсутствие поступательного, а последние три − углового перемещения тела. В случае ССС условия равновесия будут представлены системой первых трех уравнений. В случае системы параллельных сил система будет состоять также из трех уравнений: из одного уравнения суммы проекций сил на ту ось, параллельно которой ориентированы силы системы, и двух уравнений моментов относительно осей, непараллельных линиям действия сил системы.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА

Центром тяжести твердого тела называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела, при любом его расположении в пространстве.

Координаты центра тяжести, точки C (рис. 6.3) можно определить по следующим формулам:

Ясно, что чем мельче разбиение, тем точнее будет проведен расчет по формулам (6.7), (6.8). Однако при этом трудоемкость вычислений может быть достаточно большой. В инженерной практике применяются формулы определения центра тяжести тел правильной формы.

КИНЕМАТИКА

ЛЕКЦИЯ 6.

Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и

Точек без учета сил, приложенных к ним.

6.1. Способы задания движения точки

Рассматривать движение тел или точек можно только относительно какой- либо системы отсчета – реального или условного тела, относительно которого определяют положение и движение других тел.

Рассмотрим три, наиболее используемые при решении задач, системы отсчета и, соответствующие им, три способа задания движения точки. Их характеристика сводится к: а) описанию самой системы отсчета; б) определению положения точки в пространстве; в) указанию уравнений движения точки; г) установлению формул, по которым могут быть найдены кинематические характеристики движения точки.

Векторный способ

Данный способ используют, как правило, при выводе теорем и других теоретических положений. Его преимущество перед другими способами – компактность записи. В качестве системы отсчета в этом способе выступает центр О с тройкой единичных векторов – i, j, k (рис. 8.1). Положение в пространстве произвольной точки М определяется посредством радиуса-вектора, r. Таким образом, уравнением движения точки M будет однозначная функция радиуса-вектора от времени, t :

Сравнивая последние два определения, можно заключить, что траектория точки является одновременно годографом ее радиуса-вектора.

Введем понятие средней скорости, V ср (рис. 8.1):

и истинной (мгновенной) скорости, V:

Направление V совпадает с касательной, к траектории точки (рис. 8.1).

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки:

Естественный способ

ная зависимость между S и временем, t , представляет собой уравнение движения точки в естественном способе задания движения:

Скорость точки, направленная по оси t , определяется как:

Ускорение точки, а, находится в плоскости nt и может быть разложено на составляющие:

Физический смысл этого разложения заключается в следующем: линия действия касательной составляющей, а t , совпадает с линией действия вектора скорости, V , и отражает изменение только модуля скорости; нормальная составляющая ускорения, а n , характеризует изменение направления линии действия вектора скорости. Их численные значения могут быть найдены по следующим формулам:

где

– радиус кривизны траектории в данной точке.

Координатный способ

Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x , y , z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами x М , y М , z М .

Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от

а ее модуль:

Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:

Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:

Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами.

Случаю такого равновесия сил соответствуют два условия равновесия

М= Мо = 0, R* = 0.

Модули главного момента Мо и главного вектора R* рассматриваемой системы определяются по формулам

Mo= (M x 2 + M y 2 + +M z 2) 1/2 ; R*= (X 2 + Y 2 +Z 2) 1/2 .

Они раны нулю только при следующих условиях:

M x = 0, M y =0, M z = 0, X=0, Y=0, Z=0,

которым соответствуют шесть основных уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

Три уравнения системы (5-17) слева называются уравнениями моментов сил относительно осей координат, а три справа- уравнениями проекций сил на оси.

При помощи этих формул уравнение моментов можно представить в виде

å (y i Z i - z i Y i)=0; å(z i Х i - x i Z i)=0 ; å(x i Y i - y i X i)=0 . (5-18)

где x i , y i , z i - координаты точек приложения силы Р; Y i , Z i , X i - проекции этой силы на оси координат, могущие иметь любые направления.

Существуют и другие системы шести уравнений равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве.

Приведение системы сил к равнодействующей силе.

Если главный вектор системы сил R* не равен нулю, а главный момент Мо или равен нулю, или направлен перпендикулярно к главному вектору, то заданная система сил приводится к равнодействующей силе.

Возможны 2 случая.

1-й случай.

Пусть R*¹ 0; Mo = 0 . В этом случае силы приводят к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения О, а сила R* заменяет собой заданную систему сил, т.е. является ее равнодействующей.

2-й случай.

R*¹ 0; Mo¹ 0 и Мо ⊥ R*. (рис.5.15).

После приведения системы сил к центру О получена сила R* , приложенная в этом центре и равная главному вектору сил, и пара сил, момент которой М равен главному моменту Мо всех сил относительно центра приведения, причем Мо ⊥ R*.

Выберем силы этой пары R’ и R равными по модулю главному вектору R* , т.е. R= R’ = R*. Тогда плечо этой пары следует взять равным ОК= = М О /R* .Проведем через точку О плоскость I, перпендикулярную к моменту пары сил М . Пара сил R’ , R должна находиться в этой плоскости. Расположим эту пару так, чтобы одна из сил пары R’ была приложена в точке О и направлена противоположно силе R* . Восставим в плоскости I в точке О перпендикуляр к линии действия силы R* , и в точке К на расстоянии ОК= М О /R* от точки О приложим вторую силу пары R .

Отрезок ОК откладываем в такую сторону от точки О, чтобы, смотря навстречу вектору момента М, видеть пару стремящуюся вращать свою плоскость против движения часовой стрелки. Тогда силы R* и R’ , приложенные в точке О, уравновесятся, а сила R пары, приложенная в точке К, заменит собой заданную систему сил, т.е. будет ее равнодействующей. Прямая, совпадающая с линией действия этой силы, является линией действия равнодействующей силы. Рис. 5.15 показывает различие между равнодействующей силой R и силой R* , полученной при приведении сил к центру О.

Равнодействующая R системы сил, приложенная в точке К, имеющая определенную линию действия, эквивалентна заданной системе сил, т.е. заменяет собой эту систему.

Сила же R* в точке О заменяет заданную систему сил только в совокупности с парой сил с моментом М= Мо .

Силу R* можно приложить в любой точке тела, к которой приведены силы. От положения точки зависит только модуль и направление главного момента Мо .

Теорема Вариньона. Момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки, а момент равнодействующей силы относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов, составляющих сил относительно этой оси.

Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Отсюда вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил .

В геометрической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю

R = 0, M o = 0 .

В аналитической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю

ΣF kx = 0 , ΣF ky = 0 , ΣF kz = 0 ,

M x (F k) = 0 , M y (F k) = 0 , M z (F k) = 0 .

Центр тяжести. Способы определение центра тяжести. Координаты центра тяжести плоского тела и составленных сечений.

Центр тяжести

Центр тяжести тела - точка приложения силы тяжести (равнодействующей гравитационных сил).

Центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс.

Определение центра тяжести

Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.

Пусть тело состоит только из двух грузов с массами m 1 и m 2 , соединенных стержнем (рис. 126). Если масса стержня мала по сравнению с массами m 1 и m 2 , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действует сила тяжести:

P 1 =m 1 g, Р 2 =m 2 g;

обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы уже знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке О, которая определяется из условия

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя массами в отношении обратном отношению масс. Если это тело подвесить в точке О, оно останется в равновесии.

Определение координат центра тяжести

Способы определения координат центра тяжести Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел: 1 Аналитический (путем интегрирования). 2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии. 3 Экспериментальный (метод подвешивания тела). 4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1) и C 2 (x 2 , y 2) . Тогда координаты центра тяжести тела равны

Рисунок 1.8 5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9

Центр тяжести однородных плоских тел

(плоских фигур)

Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А - площадь фигуры, h - ее высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:

; ; ,

где Ак - площадь части сечения; хк, ук - координаты ЦТ частей сечения.

Выражение называют статическим моментом площади (Sy.).

Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) - круг; б) - квадрат, прямоугольник; в) - треугольник; г) - полукруг).

Как было выяснено в § 4.4, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, можно записать в виде трех уравнений проекций (4.16) и трех моментов (4.17):

, , . (7.14)

Если тело полностью закреплено, то действующие на него силы находятся в равновесии и уравнения (7.13) и (7.14) служат для определения опорных реакций. Конечно, могут встретиться случаи, когда этих уравнений недостаточно для определения опорных реакций; такие статически неопределимые системы мы рассматривать не будем.

Для пространственной системы параллельных сил уравнения равновесия принимают вид (§ 4.4[‡]):

, , . (7.15)

Рассмотрим теперь случаи, когда тело закреплено лишь частично, т.е. связи, которые наложены на тело, не гарантируют равновесия тела. Можно указать четыре частных случая.

1. Твердое тело имеет одну неподвижную точку. Иначе говоря, оно прикреплено к неподвижной точке при помощи идеального сферического шарнира.

Поместим в эту точку начало неподвижной системы координат. Действие связи в точке А заменим реакцией; так как она неизвестна по модулю и по направлению, то мы ее представим в виде трех неизвестных составляющих , , , направленных соответственно вдоль осей , , .

Уравнения равновесия (7.13) и (7.14) в этом случае запишутся в виде:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

Последние три уравнения не содержат составляющих реакции, так как линия действия этой силы проходит через точку А . Следовательно, эти уравнения устанавливают зависимости между активными силами, необходимыми для равновесия тела, причем три первых уравнения могут быть использованы для определения составляющих реакции.

Таким образом, условием равновесия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, является равенство нулю каждой из алгебраических сумм моментов всех активных сил системы относительно трех осей, пересекающихся в неподвижной точке тела .

2. Тело имеет две неподвижные точки. Это, например, будет иметь место, если оно прикреплено к двум неподвижным точкам при помощи шарниров.

Выберем начало координат в точке А и направим ось вдоль линии, проходящей через точки А и В . Заменим действие связей реакциями, направив составляющие реакции вдоль координатных осей. Обозначим расстояние между точками А и В через а ; тогда уравнения равновесия (7.13) и (7.14) запишутся в следующем виде:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

Последнее уравнение не содержит сил реакции и устанавливает связь между активными силами, необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные точки, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных сил, приложенных к телу, относительно оси, проходящей через неподвижные точки . Первые пять уравнений служат для определения неизвестных составляющих реакций , , , , , .

Заметим, что составляющие и не могут быть определены в отдельности. Из третьего уравнения определяется только сумма + и, следовательно, задача в отношении каждого из этих неизвестных для твердого тела является статически неопределимой. Однако, если в точке В находится не сферический, а цилиндрический шарнир (т.е. подшипник), не препятствующий продольному скольжению тела вдоль оси вращения, то и задача становится статически определимой.

Тело имеет неподвижную ось вращения, вдоль которой оно может скользить без трения. Это значит, что в точках А и В находятся цилиндрические шарниры (подшипники), причем составляющие их реакций вдоль оси вращения равны нулю. Следовательно, уравнения равновесия примут вид:

1) ,

2) ,

4) ,

5) ,

Два из уравнений (7.18), а именно, третье и шестое, накладывают ограничения на систему активных сил, а остальные уравнения служат для определения реакций.

Тело опирается в трех точках на гладкую поверхность, причем точки опоры не лежат на одной прямой. Обозначим эти точки через А , В и С и совместим с плоскостью АВС координатную плоскость Аху . Заменив действие связей вертикальными реакциями , и , запишем условия равновесия (7.14) в таком виде:

3) ,

4) ,

5) ,

Третье – пятое уравнения могут служить для определения неизвестных реакций, а первое, второе и шестое уравнения представляют собой условия, связывающие активные силы и необходимые для равновесия тела. Конечно, для равновесия тела необходимо выполнение условий , , , так как в точках опоры могут возникнуть только реакции принятого выше направления.

Если тело опирается на горизонтальную плоскость более чем в трех точках, то задача становится статически неопределимой, так как при этом реакций будет столько, сколько точек, а уравнений для определения реакций останется только три.

Задача 7.3. Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рис. Силы приложены к вершинам куба и направлены вдоль его ребер, причем , . Длина ребра куба равна а .